asymmetron: incomensurável (scil. megethos, grandeza)
1. A descoberta de que a diagonal de um quadrado não podia ser descrita em termos de uma proporção (logos) com o comprimento do seu lado, foi provavelmente consequência da descoberta do teorema de Pitágoras. Na Antiguidade foi atribuída ao pitagórico Hipasso que foi afogado por causa da sua revelação da irracionalidade (a-logos) da diagonal do quadrado (Jâmblico, Vita Pyth. 247; a prova da incomensurabilidade é dada por Aristóteles em Anal. pr. 41a). Provas para a incomensurabilidade de raiz de 3, raiz de 5, etc, surgiram imediatamente a seguir (ver Platão, Teeteto 147d-148b).
2. Filosoficamente estas descobertas levantaram sérios problemas no que se refere à natureza do número (arithmós) e à relação entre a aritmética e a geometria. A incomensurabilidade começou e para a maior parte permaneceu um problema geométrico; estas eram, afinal, magnitudes incomensuráveis (ver Euclides, Elem. X, passim). Onde surgiu a dificuldade, e o destino de Hipasso dá testemunho da sua gravidade, foi na insistência pitagórica sobre uma correspondência entre os números e as coisas. Os números para os Gregos eram os números inteiros e não havia números inteiros para exprimir as novas magnitudes incomensuráveis. Uma reação, testemunhada por Aristóteles, foi a de distinguir entre número e corpos e assim separar a geometria da aritmética (ver megethos). A outra, que teve algum apoio na Academia (ver Epinomis 990c-991b), foi a de tentar incorporar “raiz de 2” na família dos arithmoi. [FEPeters]