Assim como a verdade de uma proposição implica a verdade das suas consequências, a falsidade de uma consequência implica a falsidade da proposição de que decorre. Podemos, pois, demonstrar a verdade de uma proposição, indiretamente, demonstrando a falsidade da proposição contraditória. Pela própria natureza das duas proposições, demonstrar que uma delas é falsa corresponde a provar que a outra é verdadeira.
Há proposições cuja falsidade se reconhece imediatamente pelas relações que estabelecem entre conceitos incompatíveis. É o que sucede, por exemplo, com a proposição: «este círculo é triangular.» De um modo geral, a falsidade de uma proposição estabelece-se pela sua incompatibilidade com outras, reconhecidas verdadeiras ou convencionalmente aceites, e, em alguns casos, por conduzir a consequências contraditórias com ela própria ou entre si. Quando a falsidade de uma proposição se não reconhece imediatamente, deduzem-se dela consequências até se obter uma cuja falsidade seja evidente.
Para se demonstrar a verdade de uma proposição, pelo método analítico indireto, toma-se para ponto de partida a conclusão contraditória e deduz-se dela uma série de consequências até se obter uma que seja incompatível com a hipótese do teorema proposto, ou com qualquer proposição considerada verdadeira. A reciprocidade das diferentes proposições que se encadeiam na demonstração é, neste caso, desnecessária, posto que, se a verdade de uma consequência não implica necessariamente a verdade da proposição de que resulta (de uma proposição falsa também se podem deduzir consequências verdadeiras, como já tinha notado Aristóteles — Primeiros Analíticos, liv. II), a sua falsidade implica sempre a falsidade desta.
Verifica-se, assim, que a contradição proveio de se ter suposto verdadeira a conclusão contraditória e desaparece, portanto, negando a esta o carácter de verdade que lhe tinha sido atribuído, o que equivale a estabelecer a verdade da conclusão proposta.
Por outras palavras, o método analítico indireto, aplicado à demonstração de teoremas, consiste em verificar que, admitida a hipótese, não se pode negar a conclusão sem cair em contradição.
Este método, de que os geômetras antigos fizeram uso frequente, é, como temos visto, logicamente rigoroso, mas não explica a ligação existente entre a hipótese e a conclusão, pelo que convence sem esclarecer. Todavia, é extremamente útil.
Claro está que é possível demonstrar também a falsidade de uma proposição pela verdade da sua contraditória, mas esse objetivo não é o que geralmente se apresenta.
António Eduardo Lobo Vilela