Uma filosofia da matemática deve estudar cuidadosamente a matemática atual, seu abundante material lógico e as investigações de seus fundamentos, levadas a efeito pelos cultores da mesma, ordenando todas essas questões num elenco filosófico de problemas. Disso nos oferece exemplo a axiomática. Em muitos domínios da matemática (principalmente na geometria), pôs-se a descoberto um núcleo lógico e deduziram-se, de maneira lógico–formal, todos os outros conceitos e todos os teoremas, a partir de uns poucos conceitos primitivos e de um reduzido número de axiomas. Os axiomas ou enunciados primitivos eram outrora reputados como afirmações indemonstráveis e evidentes sobre diversos objetos. Todavia, dado que muitos complexos de axiomas exprimiam frequentemente em si e, portanto, em todas as suas consequências, relações especificamente iguais, tornou-se excepcionalmente importante para a matemática o tipo de relação (cujo domínio não se circunscreve às grandezas) em vez da grandeza, sujeito originário dela. A matemática tornou-se mais abstrata, sua construção mais rigorosa e sua aplicação mais suscetível de prova. A matemática é aplicável na ordem física, na medida em que aí imperam relações reais de igual forma. A questão, porém, está em saber se, em geral, se torna necessária uma realização empírica para estabelecer axiomas e demonstrar a independência e não-contradição dos mesmos, e como, noutro caso, é possível uma lógica meramente formal da relação.
Neste ponto discordam entre si as três escolas da moderna filosofia da matemática. (Sobre uma conciliação entre elas, veja-se o que diz Gentzen). A escola logística (Frege-Russel) propõe-se, com recursos puramente lógico-formais, combinar e deduzir os conceitos e enunciados primitivos da matemática, a partir dos da lógica. Para esta escola, a matemática é uma parte da lógica formal. Os problemas sur-gem quando se tornam necessários os enunciados de existência, ou quando paradoxos, como os de Russell, mostram que a lógica formal precisa de construção mais rigorosa (Logística). A escola intuicionista (Brouwer) apoia a série natural dos números numa “intuição primitiva” e interpreta a existência matemática como cons-trutibilidade, quer dizer: só são reconhecidos como objetos matemáticos aqueles que podem constituir-se e mostrar-se com uma pluralidade finita de passos; não impugna a validade da disjunção “ou P ou não-P”, mas impugna que P valha de cada membro de uma série infinita ou que não-P valha, ao menos, de um. Muitos capítulos da matemática, enumerados por Fracnkel e Heyling, deixam de existir ou se tornam embaraçosos. — A escola formalista (Hilbert) funda-se na axiomática e assegura a existência matemática pela ausência de contradição (que deve ser demonstrada não-existencialmente!). Embora os axiomas em si tomem só em consideração as relações formais, sem prestarem ulterior atenção às coisas relacionadas, todavia não são meros jogos conceituais, porque, segundo o conteúdo, comportam múltiplas interpretações. — Estas breves indicações requerem o complemento supra-ditado pela bibliografia. — A filosofia da matemática da escolástica antiga é matematicamente insuficiente. A neo-escolástiea só agora começa a ocupar-se com a matemática moderna.
A chamada metageometria, ou geometria não-euclidiana é hoje de menor importância para a filosofia da matemática. Considerados do ponto de vista superior da geometria projetava, os pontos e as retas são formas abstratas, sujeitas unicamente às relações expressas pelos axiomas. Ora, se, coordenando números com as ditas formas, se introduzem determinações de medida na geometria projetiva, isenta da medida, o resultado são diversas métricas (ordens de medida), todas em si igualmente justificadas. Euclides escolheu inconscientemente uma; as restantes melhor te denominarão “métricas não-euclidianas”, do que “geometrias não-euclidianas”. O número de paralelas e a soma dos ângulos são consequência da métrica escolhida, e não precisam de nenhum jogo de axiomas filosoficamente desorientador. A escolha de uma métrica para o espaço e o tempo compete à física (teoria da relatividade). — número, quantidade — Steele. [Brugger]