Em 1927, o matemático francês Émile Borel apresentou num paper algumas ideias sobre uma “teoria geral dos jogos”. Entre estas ideias estava o enunciado (sem a demonstração) de certo teorema fundamental — que mais tarde viria a ser conhecido como “teoria do min-max”. Em 1928 John von Neumann, partindo de certas considerações topológicas, demonstrou o teorema enunciado por Borel. Em 1944 o mesmo John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram o livro que pela vez primeira expõe sistematicamente as bases e o alcance das ideias de Borel, o Theory of Games and Economic Behavior. (251) A intenção de von Neumann e Morgenstern era desenvolver uma teoria econômica a partir de uma teoria formal dos jogos. O “jogo” é visto como a noção central a um processo econômico, compreendendo-se um processo econômico como sendo a interação e competição de pessoas com vistas à obtenção de certo lucro. O jogo, no sentido de von Neumann-Morgenstern, é caracterizado como sendo um modelo dos processos econômico-sociais, e a análise feita pelos autores da noção de modelo foi de grande fecundidade em várias áreas de pesquisa (v. Lévi-Strauss, 18G).
Um resultado de 1959 mostrou que, dentro das condições muito gerais de solução para um jogo, propostas por von Neumann e Morgenstern, esta solução é impossível. Em 1964 foi demonstrada a impossibilidade de outro tipo de solução para o problema geral das estruturas de von Neumann-Morgenstern. No entanto, apesar destas limitações gerais, a teoria desenvolvida em torno da noção matemática de jogo tem tido importantes aplicações em logística militar, em questões de planejamento econômico e de teoria econômica propriamente dita. Aliada à programação linear, a teoria dos jogos é de grande importância em pesquisa operacional. Conforme advertem os autores no início de seu livro pioneiro de 1944 sobre a teoria dos jogos, a matemática necessária ao desenvolvimento formal de suas ideias não ultrapassa, com raras exceções, o nível da álgebra elementar. Mas a sofisticação dos raciocínios e a complexidade das estruturas empregadas se aparenta à lógica matemática. De fato, para John von Neumann e Oskar Morgenstern, um jogo é, essencialmente, o conjunto de todas as “partidas” que podem ser jogadas com aquelas mesmas regras (por exemplo, no sentido de von Neumann-Morgenstern, o “jogo de xadrez” é o conjunto de todas as partidas de xadrez que podem, puderam ou poderão ser jogadas no universo). Mais precisamente, a forma extensa de um jogo é estruturada com os seguintes elementos: (a) o conjunto / dos jogadores; (b) cada jogada Mn, onde um dos jogadores — ou o acaso, um sorteio de dados ou uma carta tirada de um baralho — escolhe entre certas alternativas; (c) uma função F que dá, para cada jogador, qual o seu lucro ao final da partida. Um jogo tem solução se é possível encontrar-se uma partida tal que seus participantes a joguem com a seguinte estratégia: cada um dos movimentos Mn será efetivado pelo jogador pressupondo que seus oponentes farão, em resposta, jogadas capazes de maximizar os lucros deles; o jogador a quem corresponder Mn escolherá dentre aqueles movimentos, o que minimizar seus prejuízos. Deste comportamento básico vem a ideia de “min-max”, que conduz ao teorema fundamental proposto por Borel em 1927.
Costuma-se analisar os jogos em termos do número de seus participantes e do resultado final: um jogo será de “soma zero” se tudo o que for ganho corresponder a um prejuízo de certos jogadores (o “basquete de bolso” é um jogo de “soma zero”: o que um jogador perde — o dinheiro apostado _ é ganho pelos outros). O teorema fundamental, enunciado e demonstrado pára jogos de duas pessoas, soma zero, corresponde à afirmativa de que todo jogo desta espécie sempre tem uma solução. Embora com dois participantes possam parecer uma situação muito limitada, a verdade é que suas aplicações são extremamente gerais e vastas. (Francisco Doria – DCC)