===== MATEMÁTICA =====
(gr. mathematike; lat. mathematica; in. Mathematics; fr. Mathématique, al. Mathematik; it. Matemática).

As definições filosóficas de matemática por um lado expressam orientações diferentes da [[lexico:i:investigacao:start|investigação]] nessa [[lexico:a:area:start|área]] e, por [[lexico:o:outro:start|outro]], modos diferentes de justificar a [[lexico:v:validade:start|validade]] e a [[lexico:f:funcao:start|função]] da matemática no conjunto das ciências. Podem [[lexico:s:ser:start|ser]] distinguidas [[lexico:q:quatro:start|Quatro]] definições fundamentais: 1) matemática como [[lexico:c:ciencia:start|ciência]] da [[lexico:q:quantidade:start|quantidade]]: 2) matemática como ciência das [[lexico:r:relacoes:start|relações]]; 3) matemática como ciência do [[lexico:p:possivel:start|possível]]; 4) matemática como ciência das construções possíveis.

1) "Ciência da quantidade" foi a primeira [[lexico:d:definicao:start|definição]] filosófica da matemática Essa definição foi claramente formulada por [[lexico:a:aristoteles:start|Aristóteles]], mas já estava implícita nas considerações de [[lexico:p:platao:start|Platão]] sobre a [[lexico:a:aritmetica:start|aritmética]] e a [[lexico:g:geometria:start|geometria]], que tendiam sobretudo a evidenciar a [[lexico:d:diferenca:start|diferença]] entre as grandezas percebidas pelos sentidos e as grandezas ideais, que são [[lexico:o:objeto:start|objeto]] da matemática (Rep., VII, 525-27). Aristóteles dizia: "O matemático constrói sua [[lexico:t:teoria:start|teoria]] por [[lexico:m:meio:start|meio]] da [[lexico:a:abstracao:start|abstração]]; prescinde de todas as [[lexico:q:qualidades-sensiveis:start|qualidades sensíveis]], como [[lexico:p:peso:start|peso]] e leveza, dureza e seu contrário, calor e frio, e das outras qualidades opostas, limitando-se a considerar apenas a quantidade e a continuidade, ora em uma só [[lexico:d:dimensao:start|dimensão]], ora em duas, ora em três, [[lexico:b:bem:start|Bem]] como os [[lexico:c:caracteres:start|caracteres]] dessas entidades, na [[lexico:m:medida:start|medida]] em que são quantitativas e continuativas, deixando de lado qualquer outro [[lexico:a:aspecto:start|aspecto]] delas. Consequentemente, estuda as posições relativas e [[lexico:o:o-que-e:start|o que é]] inerente a elas: comensurabilidade ou incomensurabilidade e proporções" (Mel, XI, 3,1601 a 28; cf. Fís., II, 193 b 25). [[lexico:e:esse:start|esse]] [[lexico:c:conceito:start|conceito]] de matemática persistiu por muito [[lexico:t:tempo:start|tempo]] e só no século passado começou a parecer insuficiente para exprimir todos os aspectos desse [[lexico:c:campo:start|campo]] de estudos. O [[lexico:p:proprio:start|próprio]] [[lexico:k:kant:start|Kant]] traduzia-o para a [[lexico:l:linguagem:start|linguagem]] de sua [[lexico:f:filosofia:start|Filosofia]]. Para ele, a matemática distinguia-se da filosofia porque, enquanto esta procede por meio de [[lexico:c:conceitos:start|conceitos]], a matemática procede por meio da construção de conceitos; mas a construção de conceitos só é possível em matemática com base na [[lexico:i:intuicao:start|intuição]] apriori ao [[lexico:e:espaco:start|espaço]], que é a [[lexico:f:forma:start|forma]] da quantidade em [[lexico:g:geral:start|geral]]. E diz: "[[lexico:q:quem:start|quem]] pensou distinguir a [[lexico:f:filosofia-da-matematica:start|filosofia da matemática]] dizendo que esta tem como objeto apenas a quantidade tomou o [[lexico:e:efeito:start|efeito]] pela [[lexico:c:causa:start|causa]]. A forma do [[lexico:c:conhecimento:start|conhecimento]] da matemática é a causa de ela poder referir-se unicamente a quantidades. Na [[lexico:v:verdade:start|verdade]], só o conceito de quantidade pode ser [[lexico:c:construido:start|construído]], ou seja, exposto apriori nu intuição do espaço" (Crít. R. Pura, Dout; do mét., cap. I, seç. 1). O conceito de matemática como construção — portanto, de algum [[lexico:m:modo:start|modo]] como intuição — retornou na matemática contemporânea (v. mais adiante, n. 4). Mas o conceito de matemática como ciência da quantidade foi repetido numerosas vezes pelos filósofos. As longas e fantásticas disquisições de [[lexico:h:hegel:start|Hegel]] sobre os conceitos fundamentais da matemática, na grande [[lexico:l:logica:start|Lógica]], baseiam-se nele (Wissenschaft der Logik, 1,1, seç. II). E mesmo muito mais [[lexico:t:tarde:start|Tarde]], [[lexico:c:croce:start|Croce]] referia-se destemidamente a esse conceito: "As matemática fornecem conceitos abstratos que possibilitam o [[lexico:j:juizo:start|juízo]] numérico; constroem os instrumentos para contar e calcular e para realizar aquela [[lexico:e:especie:start|espécie]] de falsa [[lexico:s:sintese:start|síntese]] apriori, que é a numeração dos objetos individuais" (Lógica, 1920, p. 238).

2) A segunda concepção fundamental da matemática considera-a como ciência das relações, portanto estreitamente ligada à lógica ou [[lexico:p:parte:start|parte]] desta. Os antecedentes dessa concepção podem ser encontrados em [[lexico:d:descartes:start|Descartes]], que afirmava: "Embora as ciências comumente chamadas de matemáticas tenham objetos diferentes, estão de [[lexico:a:acordo:start|acordo]] quanto a considerarem apenas as diversas relações ou proporções neles encontradas" (Discours, II). O conceito leibniziano de [[lexico:a:ars-combinatoria:start|ars combinatoria]]  ou matemática [[lexico:u:universal:start|universal]] sem [[lexico:d:duvida:start|dúvida]] pode ser considerado o início do conceito da matemática como lógica, mas [[lexico:n:nao:start|não]] impedia que o próprio [[lexico:l:leibniz:start|Leibniz]] aderisse ainda ao conceito tradicional de matemática como [[lexico:a:arte:start|arte]] da quantidade (De arte combinatoria, 1666, Proemium, 7, em Op, ed. Erdmann, p. 8). Obviamente, a estreita conexão da matemática com a lógica começou a evidenciar-se como [[lexico:c:caracteristica:start|característica]] da matemática só quando a lógica assumiu a forma de [[lexico:c:calculo:start|cálculo]] matemático. Segundo Boole, uma vez que "as últimas leis da lógica têm forma matemática", a [[lexico:a:apresentacao:start|apresentação]] da lógica em forma de cálculo não é arbitrária, mas representa algo que decorre das próprias leis do [[lexico:p:pensamento:start|pensamento]] (Laws of Thought, 1854, cap. I, § 10). Os estudos de Dedekind sobre os fundamentos da aritmética (Was sind un sollen die Zahlen?, 1887) seguem a mesma [[lexico:o:ordem:start|ordem]] de [[lexico:i:ideias:start|ideias]]. Mas quem mais contribuiu para inscrever a matemática no domínio da lógica foi Frege e sua polêmica contra o [[lexico:p:psicologismo:start|psicologismo]]. Em um ensaio de 1884, Frege mostrava a importância do conceito de [[lexico:r:relacao:start|relação]] para a definição do [[lexico:n:numero:start|número]] [[lexico:n:natural:start|natural]]; dizia: "O conceito de relação pertence — tanto quanto o conceito [[lexico:s:simples:start|simples]] — ao campo da lógica pura. Aqui não interessa o conteúdo especial da relação, mas exclusivamente sua forma lógica. Se algo pode ser afirmado sobre ela, a verdade desse algo é [[lexico:a:analitica:start|analítica]] e reconhecida apriori" (Eine logish-mathematische Untersuchung überden Begriff der Zahl, 1884, § 70, trad. it., em Aritmética e lógica, p. 139).

A partir daí, pode-se considerar consolidada a conexão da matemática com a lógica através da teoria das relações; essa conexão foi constantemente pressuposta nas definições de matemática Todavia mesmo as definições que têm esse [[lexico:f:fundamento:start|fundamento]] em comum foram formuladas de modos diferentes. A formulação mais óbvia de uma definição deste [[lexico:t:tipo:start|tipo]] é a que considera a matemática como "teoria das relações". Poincaré expunha essa definição na forma geral, afirmando: "A ciência é um [[lexico:s:sistema:start|sistema]] de relações. Só nas relações deve-se buscar [[lexico:o:objetividade:start|objetividade]], e seria vão buscá-la nos seres isolados" (La valeur de la science, 1905, p. 266). Esse conceito foi adotado por [[lexico:r:russell:start|Russell]], que via a coincidência entre matemática e lógica justamente no âmbito da teoria das relações e julgava que o [[lexico:t:tema:start|tema]] comum das duas ciências era a forma dos enunciados, definida como "aquilo que permanece invariável quando todos os componentes do [[lexico:e:enunciado:start|enunciado]] são substituídos por outros", ou seja, quando o enunciado se transforma em pura relação (Intr. to Mathematical Philosophy, 1918, cap. XVIII).

Por outro lado, [[lexico:p:peirce:start|Peirce]], mesmo admitindo a conexão entre matemática e lógica, procurara distinguir ambas, afirmando que, enquanto a matemática é a ciência que infere conclusões necessárias, a lógica é a ciência do modo de inferir conclusões necessárias. "O [[lexico:l:logico:start|lógico]] não está muito preocupado com esta ou aquela [[lexico:h:hipotese:start|hipótese]] ou com suas consequências exceto quando isso pode lançar luzes sobre a [[lexico:n:natureza:start|natureza]] do [[lexico:r:raciocinio:start|raciocínio]]. O matemático interessa-se muito pelos métodos eficientes de [[lexico:r:raciocinar:start|raciocinar]], visando à sua possível [[lexico:e:extensao:start|extensão]] para novos problemas, mas, enquanto matemático, não se preocupa em analisar as panes de seu [[lexico:m:metodo:start|método]] cuja correção é dada como óbvia" (Coll. Pap., 4.239). Essa [[lexico:d:distincao:start|distinção]], porém, baseava-se na [[lexico:n:nocao:start|noção]] de lógica como ciência categórica e normativa (Ibid., 4.240), o que não fez carreira na lógica contemporânea, cujo [[lexico:c:carater:start|caráter]] convencional se acentuou cada vez mais (v. [[lexico:c:convencionalismo:start|convencionalismo]]; lógica). Portanto, a melhor definição de matemática, desse [[lexico:p:ponto:start|ponto]] de vista, é dada por [[lexico:w:wittgenstein:start|Wittgenstein]]: "A matemática é um método lógico. As proposições da matemática são equações, portanto pseudo-proposições. A [[lexico:p:proposicao:start|proposição]] matemática não exprime pensamento algum. De [[lexico:f:fato:start|fato]], nunca precisamos de proposições matemáticas na [[lexico:v:vida:start|vida]], mas as empregamos apenas com o [[lexico:f:fim:start|fim]] de, a partir de proposições que não pertencem à matemática, tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem" (Tractatus, 1922,6.2; 6.21; 6.211). As equações da matemática correspondem às tautologias da lógica (Ibid., 6.22) e, como estas, [[lexico:n:nada:start|nada]] dizem. Ponto de vista [[lexico:a:analogo:start|análogo]] foi expresso por Carnap: "Os cálculos constituem um [[lexico:g:genero:start|gênero]] [[lexico:p:particular:start|particular]] de cálculos lógicos, distinguindo-se deles pela maior complexidade. Os cálculos geométricos são um gênero particular de cálculos físicos" (Foundations of Logic and Mathematics, 1939, § 13).

Esta é a melhor formulação da [[lexico:t:tese:start|tese]] do [[lexico:l:logicismo:start|logicismo]]. Segundo esse ponto de vista, em primeiro [[lexico:l:lugar:start|lugar]] deve-se construir uma lógica exata, para em seguida dela extrair a matemática, do seguinte modo: la definindo todos os conceitos da matemática (vale dizer, da aritmética, da [[lexico:a:algebra:start|álgebra]] e da [[lexico:a:analise:start|análise]]) em termos de conceitos de lógica; 2S deduzindo todos os teoremas da matemática a partir dessas definições e por meio dos [[lexico:p:principios:start|princípios]] da própria lógica (inclusive os axiomas de infinidade e de [[lexico:e:escolha:start|escolha]]) (cf. C. G. Hempel, "On the Nature of Mathematical Truth", 1925, em Readings in the Philosophy of Science, 1953, p. 59).

3) A terceira concepção fundamental de matemática pertence à corrente formalista e pode ser assim expressa: a matemática é "a ciência do possível", onde por possível se entende aquilo que não implica [[lexico:c:contradicao:start|contradição]] (v. possível, 1). Desse ponto de vista, a matemática não é parte da lógica e não a pressupõe. Do modo como foi concebida por Hilbert e Bernays (Grundlagen der Mathematik, I, 1934; II, 1939), a matemática pode ser construída como simples cálculo, sem exigir [[lexico:i:interpretacao:start|interpretação]] alguma. Toma-se, então, um sistema [[lexico:a:axiomatico:start|axiomático]] (v. axiomatização), no qual: 1) todos os conceitos básicos e todas as relações básicas devem ser completamente enumerados, integrando-se neles, por meio de definição, quaisquer conceitos ulteriores; 2) os axiomas devem ser completamente enumerados e destes deduzidos todos os outros enunciados em conformidade com as relações básicas. Nesse sistema, a [[lexico:d:demonstracao:start|demonstração]] matemática é um procedimento puramente [[lexico:m:mecanico:start|mecânico]] de [[lexico:i:inferencia:start|inferência]] de fórmulas, mas ao mesmo tempo acrescenta-se à matemática [[lexico:f:formal:start|formal]] uma metamatemática constituída por raciocínios não formais em torno da matemática "Desse modo" — disse Hilbert — "realiza-se, por meio de trocas contínuas, o [[lexico:d:desenvolvimento:start|desenvolvimento]] da [[lexico:t:totalidade:start|totalidade]] da ciência matemática, de duas maneiras: inferindo dos axiomas novas fórmulas demonstráveis por meio de deduções formais e acrescentando novos axiomas e a [[lexico:p:prova:start|prova]] de não-contradição, por meio de raciocínios que tenham conteúdo." A matemática constitui, então, um sistema perfeitamente autônomo, ou seja, não pressupõe um [[lexico:l:limite:start|limite]] ou um guia fora de si mesma e desenvolve-se em todas as direções possíveis, entendendo-se por direções possíveis as que não levem a contradições.

Portanto, é [[lexico:e:essencial:start|essencial]] para esse conceito da matemática a [[lexico:p:possibilidade:start|possibilidade]] de determinar a possibilidade (não-contradição) dos sistemas axiomáticos. Mas foi justamente essa possibilidade que o [[lexico:t:teorema:start|teorema]] descoberto por Gödel em 1931 pôs em dúvida: segundo ele, não é possível demonstrar a não-contradição de um sistema S com os meios (axiomas, definições, regras de [[lexico:d:deducao:start|dedução]], etc.) pertencentes ao mesmo sistema S; pata efetuar tal demonstração, é preciso recorrer a um sistema S1, mais rico em meios lógicos que S ("Über formal unentscheidbare Sätze der [[lexico:p:principia-mathematica:start|Principia Mathematica]] und verwandter Systeme", em Monatschriftefür Mathematik und Physik, 1931, pp.  173-98). Esse [[lexico:t:teorema-de-godel:start|teorema de Gödel]] teve grande ressonância na matemática [[lexico:m:moderna:start|moderna]]. Até [[lexico:a:agora:start|agora]] foi possível demonstrar a não-contradição de algumas partes da matemática, como p. ex. da aritmética (demostrado por Gentzen em 1936), mas não se avançou muito nessa direção; por isso, a "ciência do possível" hoje acredita que sua missão mais difícil é mostrar a "possibilidade" de suas partes. Quanto à possibilidade da matemática como sistema [[lexico:u:unico:start|único]] e total, obviamente foi excluída pela formulação do teorema de Gödel, que também mostrou os limites da [[lexico:a:axiomatica:start|axiomática]] ao demonstrar que nenhum sistema axiomático contém "todos" os axiomas possíveis e que, portanto, novos princípios de prova podem ser continuamente descobertos. Outra [[lexico:c:consequencia:start|consequência]] do teorema de Gödel é uma [[lexico:l:limitacao:start|limitação]] das capacidades das máquinas calculadoras, cuja construção foi enormemente facilitada pelo conceito forma-lista da matemática De fato, pode-se construir uma [[lexico:m:maquina:start|máquina]] para resolver determinado [[lexico:p:problema:start|problema]], mas não uma máquina que seja capaz de resolver todos os problemas (cf. E. Nagel-G. R. Newmann, Gödel’s Proof, 1958, pp. 98 ss.).

4) Segundo a quarta concepção fundamental, a matemática é a ciência que tem por objeto a possibilidade de construção. Trata-se, [[lexico:c:como-se:start|como se]] vê, da noção kantiana da matemática como "construção de conceitos"; por isso, essa corrente comumente é chamada de [[lexico:i:intuicionismo:start|intuicionismo]], mas seus precedentes podem ser percebidos na polêmica antiformalista de Poincaré, na [[lexico:o:obra:start|obra]] de Kronec-ker (Überden Zahlbegriff, 1887), na [[lexico:t:tendencia:start|tendência]] empirista de alguns matemáticos franceses (Borel, Lebegue, Bayre), no [[lexico:f:filosofo:start|filósofo]] vienense F. Kaufmann, e em outros. Segundo Brouwer, que é um dos principais representantes do intuicionismo, a matemática identifica-se com a parte exata do pensamento [[lexico:h:humano:start|humano]] e por isso não pressupõe ciência alguma, nem a lógica, mas exige uma intuição que permita [[lexico:a:apreender:start|apreender]] a [[lexico:e:evidencia:start|evidência]] dos conceitos e das conclusões. Portanto, não se deve chegar às conclusões a partir de regras fixas contidas num sistema formalizado, mas cada conclusão deve ser diretamente verificada com base em sua própria evidência. Desse ponto de vista, o procedimento de demonstração matemática não tem em vista a dedução lógica, mas a construção de um sistema matemático. Brouwer insiste no fato de que, mesmo no caso de uma demonstração de [[lexico:i:impossibilidade:start|impossibilidade]] através da evidência de uma contradição, o [[lexico:u:uso:start|uso]] do [[lexico:p:principio-de-contradicao:start|princípio de contradição]] é apenas [[lexico:a:aparente:start|aparente]]: na [[lexico:r:realidade:start|realidade]], trata-se

da [[lexico:a:afirmacao:start|afirmação]] de que uma construção matemática, que deveria satisfazer a certas condições, não é realizável (cf. A. Heyting, Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus und Beweistheorie, 1934 [trad. fr., 1955], I, 5,1). Na esteira de Brouwer, Heyting demostrou que, apesar de o [[lexico:p:principio:start|princípio]] de contradição poder ser utilizado, o mesmo não acontece com o [[lexico:p:principio-do-terceiro-excluido:start|princípio do terceiro excluído]]  (Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, in L. B. Preusz. Akad. Wiss., 1930).

O intuicionismo, apesar de definir a matemática como a ciência das construções possíveis, não recorre, como Kant, à intuição [[lexico:a:a-priori:start|a priori]] do espaço, nem a forma alguma de intuição empírica ou [[lexico:m:mistica:start|mística]]. A construção de que o intuicionismo [[lexico:f:fala:start|fala]] é conceitual e não se refere a fatos empíricos. Heyting resumiu desta forma o ponto de vista de Brouwer: 1) a matemática pura é uma [[lexico:c:criacao:start|criação]] livre do [[lexico:e:espirito:start|espírito]] e não tem relação alguma com os fatos de [[lexico:e:experiencia:start|experiência]]; 2) a simples constatação de um fato de experiências sempre contém a identificação de um sistema matemático; 3) o método da ciência da natureza consiste em reunir os sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas em um sistema puramente matemático construído com este fim (cf. Heyting, op. cit., IV, 3).

Se considerarmos essas conclusões, veremos que a distinção entre [[lexico:f:formalismo:start|formalismo]] e intuicionismo (entre a terceira e a quarta concepção da matemática) não é tão radical quanto poderia parecer. Em primeiro lugar, a construção que os intuicionistas veem como objeto do procedimento matemático é formal e sua possibilidade é determinada por regras formais. Por outro lado, os limites do formalismo evidenciados pelo teorema de Gödel ressaltam o [[lexico:v:valor:start|valor]] de algumas exigências apresentadas pelo conceito intuicionista da matemática. E já que é difícil ignorar a importância do aspecto linguístico da matemática, que serviu de base para o logicismo, o pensamento matemático contemporâneo é dominado por certo [[lexico:e:ecletismo:start|ecletismo]] (cf. p. ex. E. W. Beth, Les fondements logiques des mathématiques, 2a ed., 1955). Entretanto, do ponto de vista filosófico, vale dizer, do ponto de vista dos conceitos básicos e das orientações gerais de [[lexico:e:estudo:start|estudo]], as diferenças nas definições enunciadas neste verbete continuam sendo importantes.

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