===== FILOSOFIA DA MATEMÁTICA =====
Uma [[lexico:f:filosofia-da-matematica|filosofia da matemática]] deve estudar cuidadosamente a [[lexico:m:matematica|matemática]] [[lexico:a:atual|atual]], seu abundante material [[lexico:l:logico|lógico]] e as investigações de seus fundamentos, levadas a [[lexico:e:efeito|efeito]] pelos cultores da mesma, ordenando todas essas questões num [[lexico:e:elenco|elenco]] filosófico de problemas. Disso nos oferece [[lexico:e:exemplo|exemplo]] a [[lexico:a:axiomatica|axiomática]]. Em muitos domínios da matemática (principalmente na [[lexico:g:geometria|geometria]]), pôs-se a descoberto um núcleo lógico e deduziram-se,  de maneira lógico-formal, todos os outros [[lexico:c:conceitos|conceitos]] e todos os teoremas, a partir de uns poucos conceitos primitivos e de um reduzido [[lexico:n:numero|número]] de axiomas. Os axiomas ou enunciados primitivos eram outrora reputados como afirmações indemonstráveis e evidentes sobre diversos objetos. Todavia, [[lexico:d:dado|dado]] que muitos complexos de axiomas exprimiam frequentemente em si e, portanto, em todas as suas consequências, [[lexico:r:relacoes|relações]] especificamente iguais, tornou-se excepcionalmente importante para a matemática o [[lexico:t:tipo|tipo]] de [[lexico:r:relacao|relação]] (cujo domínio [[lexico:n:nao|não]] se circunscreve às grandezas) em vez da [[lexico:g:grandeza|grandeza]], [[lexico:s:sujeito|sujeito]] originário dela. A matemática tornou-se mais abstrata, sua construção mais rigorosa e sua aplicação mais suscetível de [[lexico:p:prova|prova]]. A matemática é aplicável na [[lexico:o:ordem|ordem]] [[lexico:f:fisica|física]], na [[lexico:m:medida|medida]] em que aí imperam relações reais de igual [[lexico:f:forma|forma]]. A [[lexico:q:questao|questão]], porém, está em [[lexico:s:saber|saber]] se, em [[lexico:g:geral|geral]], se torna necessária uma realização empírica para estabelecer axiomas e demonstrar a independência e não-contradição dos mesmos, e como, noutro caso, é [[lexico:p:possivel|possível]] uma [[lexico:l:logica|lógica]] meramente [[lexico:f:formal|formal]] da relação.

Neste [[lexico:p:ponto|ponto]] discordam entre si as três escolas da [[lexico:m:moderna|moderna]] [[lexico:f:filosofia|Filosofia]] da matemática. (Sobre uma conciliação entre elas, veja-se o que diz Gentzen). A [[lexico:e:escola|escola]] [[lexico:l:logistica|logística]] (Frege-Russel) propõe-se, com recursos puramente lógico-formais, combinar e deduzir os conceitos e enunciados primitivos da matemática, a partir dos da lógica. Para esta escola, a matemática é uma [[lexico:p:parte|parte]] da [[lexico:l:logica-formal|lógica formal]]. Os problemas sur-gem quando se tornam necessários os enunciados de [[lexico:e:existencia|existência]], ou quando paradoxos, como os de [[lexico:r:russell|Russell]], mostram que a lógica formal precisa de construção mais rigorosa (Logística). A escola intuicionista (Brouwer) apoia a [[lexico:s:serie|série]] [[lexico:n:natural|natural]] dos números numa "[[lexico:i:intuicao|intuição]] primitiva" e interpreta a existência matemática como cons-trutibilidade, quer dizer: só são reconhecidos como objetos matemáticos aqueles que podem constituir-se e mostrar-se com uma [[lexico:p:pluralidade|pluralidade]] finita de passos; não impugna a [[lexico:v:validade|validade]] da [[lexico:d:disjuncao|disjunção]] "ou P ou não-P", mas impugna que P valha de cada membro de uma série infinita ou que não-P valha, ao menos, de um. Muitos capítulos da matemática, enumerados por Fracnkel e Heyling, deixam de [[lexico:e:existir|existir]] ou se tornam embaraçosos. — A escola formalista (Hilbert) funda-se na axiomática e assegura a existência matemática pela [[lexico:a:ausencia|ausência]] de [[lexico:c:contradicao|contradição]] (que deve [[lexico:s:ser|ser]] demonstrada não-existencialmente!). Embora os axiomas em si tomem só em consideração as relações formais, sem prestarem ulterior [[lexico:a:atencao|atenção]] às [[lexico:c:coisas|coisas]] relacionadas, todavia não são meros jogos conceituais, porque, segundo o conteúdo, comportam múltiplas interpretações. — Estas breves indicações requerem o complemento supra-ditado pela bibliografia. — A filosofia da matemática da [[lexico:e:escolastica|escolástica]] antiga é matematicamente insuficiente. A neo-escolástiea só [[lexico:a:agora|agora]] começa a ocupar-se com a matemática moderna.

A chamada [[lexico:m:metageometria|metageometria]], ou geometria não-euclidiana é hoje de menor importância para a filosofia da matemática. Considerados do ponto de vista [[lexico:s:superior|superior]] da geometria projetava, os pontos e as retas são formas abstratas, sujeitas unicamente às relações expressas pelos axiomas. Ora, se, coordenando números com as ditas formas, se introduzem determinações de medida na geometria projetiva, isenta da medida, o resultado são diversas métricas (ordens de medida), todas em si igualmente justificadas. [[lexico:e:euclides|Euclides]] escolheu inconscientemente uma; as restantes melhor te denominarão "métricas não-euclidianas", do que "geometrias não-euclidianas". O número de paralelas e a [[lexico:s:soma|soma]] dos ângulos são [[lexico:c:consequencia|consequência]] da métrica escolhida, e não precisam de nenhum [[lexico:j:jogo|jogo]] de axiomas filosoficamente desorientador. A [[lexico:e:escolha|escolha]] de uma métrica para o [[lexico:e:espaco|espaço]] e o [[lexico:t:tempo|tempo]] compete à física ([[lexico:t:teoria-da-relatividade|teoria da relatividade]]). — número, [[lexico:q:quantidade|quantidade]] — Steele.