===== AXIOMÁTICA =====
(in. Axiomatics; fr. Axiomatique; al. Axiomatik; it. Assiomaticà).

A axiomática pode [[lexico:s:ser:start|ser]] considerada resultado da aritmetização da [[lexico:a:analise:start|análise]] que ocorreu na [[lexico:m:matematica:start|matemática]] a partir da segunda metade do séc. XIX, provocada sobretudo por Weierstrass. A primeira tentativa de axiomatização da [[lexico:g:geometria:start|geometria]] foi feita por Pasch, em 1882. Para a axiomatização da matemática também contribuíram o [[lexico:f:formalismo:start|formalismo]] de Peano, [[lexico:r:russell:start|Russell]], Frege e, especialmente, a [[lexico:o:obra:start|obra]] de Hilbert. Mas a axiomática [[lexico:n:nao:start|não]] se limita hoje ao domínio da matemática: em [[lexico:f:fisica:start|física]], é estudada como [[lexico:o:objetivo:start|objetivo]] final ou, pelo menos, como formulação última e mais satisfatória; qualquer [[lexico:d:disciplina:start|disciplina]] que atinja certo [[lexico:g:grau:start|grau]] de rigor tende a assumir a [[lexico:f:forma:start|forma]] axiomática. O [[lexico:s:significado:start|significado]] da axiomática pode ser resumido brevemente nos pontos seguintes:

1) Axiomatizar uma [[lexico:t:teoria:start|teoria]] significa, em primeiro [[lexico:l:lugar:start|lugar]], considerar, em lugar de objetos ou de classes de objetos providos de [[lexico:c:caracteres:start|caracteres]] intuitivos, [[lexico:s:simbolos:start|símbolos]] oportunos, cujas regras de [[lexico:u:uso:start|uso]] sejam fixadas pelas [[lexico:r:relacoes:start|relações]] enumeradas pelos axiomas. Como tais símbolos são desprovidos de qualquer [[lexico:r:referencia:start|referência]] [[lexico:i:intuitiva:start|intuitiva]], a teoria [[lexico:f:formal:start|formal]] assim obtida é passível de múltiplas interpretações, que se chamam modelos. Mas o [[lexico:m:modelo:start|modelo]], aqui, não é um [[lexico:a:arquetipo:start|arquétipo]] preexistente à teoria, e mesmo a teoria concreta original, que forneceu os dados para o [[lexico:e:esquema:start|esquema]] [[lexico:l:logico:start|lógico]] da axiomática, não é senão um desses modelos. A [[lexico:c:caracteristica:start|característica]] da axiomática é prestar-se a interpretações ou a realizações diferentes, das quais constitui a [[lexico:e:estrutura:start|estrutura]] [[lexico:l:logica:start|lógica]] comum.

2) O [[lexico:m:metodo-axiomatico:start|método axiomático]] é um poderoso [[lexico:i:instrumento:start|instrumento]] de [[lexico:g:generalizacao:start|generalização]] lógica. Um dos modos de generalização desse [[lexico:m:metodo:start|método]] consiste em destruir, sucessivamente, alguns axiomas de certa teoria dedutiva, conservando os outros e, assim, construindo teorias cada vez mais abstratas. O [[lexico:s:sistema:start|sistema]] gerado pela axiomática assim restringida é coerente se o sistema inicial o for e constitui uma generalização deste.

3) A axiomática torna indispensável distinguir três modos pelos quais é [[lexico:p:possivel:start|possível]] diferenciar uma teoria dedutiva da outra. Consideremos o caso da geometria euclidiana. Em primeiro lugar, se modificarmos um dos seus postulados, obteremos outras geometrias denominadas próximas ou aparentadas; nesse [[lexico:s:sentido:start|sentido]], fala-se de [[lexico:p:pluralidade:start|pluralidade]] de geometrias. Em segundo lugar, podemos efetuar a reconstrução lógica de qualquer uma dessas geometrias de vários modos, isto é, segundo axiomática diferentes; e essas axiomática serão equivalentes entre si. Enfim, se escolhermos uma dessas axiomática, na [[lexico:m:maioria-das-vezes:start|maioria das vezes]] será possível encontrar interpretações diferentes para ela: haverá vários modelos dela, que serão chamados isomorfos. Haverá assim: a) uma pluralidade de geometrias; b) uma pluralidade de axiomáticas para uma mesma geometria; c) uma pluralidade de modelos para uma mesma axiomática.

4) A característica fundamental da axiomática é a [[lexico:e:escolha:start|escolha]] e a clara [[lexico:e:enunciacao:start|enunciação]] das proposições primitivas de uma teoria, isto é, dos axiomas que introduzem os termos indefiníveis e estabelecem as regras de uso indemonstráveis. A escolha das noções primitivas é [[lexico:p:parte:start|parte]] fundamental da [[lexico:c:constituicao:start|constituição]] de uma axiomática. Hoje está claro, porém, que as próprias noções de "[[lexico:p:primitivo:start|primitivo]]", "indefinível" e "[[lexico:i:indemonstravel:start|indemonstrável]]" são relativas, no sentido de que um [[lexico:t:termo:start|termo]] indefinível ou uma [[lexico:p:proposicao:start|proposição]] indemonstrável, dentro de um sistema, podem ser definíveis ou demonstráveis se as bases do sistema forem modificadas. P. ex., na geometria euclidiana não se pode demonstrar o [[lexico:p:postulado:start|postulado]] das paralelas, mas se renunciarmos a demonstrar o [[lexico:t:teorema:start|teorema]] de que a [[lexico:s:soma:start|soma]] dos ângulos de um [[lexico:t:triangulo:start|triângulo]] é igual a dois retos, poderemos assumir essa proposição como um [[lexico:a:axioma:start|axioma]] e demonstrar a [[lexico:u:unicidade:start|unicidade]] da paralela. [[lexico:a:alem:start|Além]] disso, muitas vezes os termos não definidos são implicitamente definidos pelo conjunto dos postulados previamente escolhidos ([[lexico:d:definicao:start|definição]] por postulados). Diz-se que a escolha dos postulados é livre, mas na [[lexico:r:realidade:start|realidade]] deve obedecer a determinadas condições que a limitam notavelmente; para essas condições, v. axioma.

5) Já se disse (v. axioma) que o [[lexico:l:limite:start|limite]] fundamental para a escolha dos axiomas é a sua [[lexico:c:coerencia:start|coerência]] ou [[lexico:c:compatibilidade:start|compatibilidade]]. Todavia, um [[lexico:t:teorema-de-godel:start|teorema de Gödel]] (1931) estabeleceu que uma [[lexico:a:aritmetica:start|aritmética]] não contraditória comporta enunciados não decididos e, entre esses enunciados, está a não-contradição do sistema aritmético. Em outros termos, se permanecermos no âmbito de um sistema, não será possível estabelecer a não-contradição desse mesmo sistema. [[lexico:e:esse:start|esse]] é um dos limites da axiomática, além dos que foram evidenciados pela corrente intuicionista dos matemáticos (v. matemática).

Neologismo, que designa o [[lexico:e:estudo:start|estudo]] crítico dos axiomas, enquanto estes são [[lexico:p:principios:start|princípios]] fundamentais da geometria. (Já [[lexico:l:leibniz:start|Leibniz]] queixava-se que muitos geômetras tentavam demonstrar os axiomas, não obstante estes serem indemonstráveis por definição). [[lexico:m:mfsdic:start|MFSDIC]]

Como é possível que a matemática, que é um [[lexico:p:produto:start|produto]] do [[lexico:p:pensamento:start|pensamento]] [[lexico:h:humano:start|humano]] e [[lexico:i:independente:start|independente]] de qualquer [[lexico:e:experiencia:start|experiência]], possa adaptar-se tão admiravelmente aos objetos da realidade? Será, pois, a [[lexico:r:razao:start|razão]] humana capaz de descobrir apenas pelo pensamento, sem recorrer à experiência, as propriedades dos objetos reais?

Em minha [[lexico:o:opiniao:start|opinião]], a resposta a esta [[lexico:q:questao:start|questão]] é a seguinte: «na [[lexico:m:medida:start|medida]] em que as proposições matemáticas se referem à realidade, não são certas, e na medida em que são certas, não dizem [[lexico:r:respeito:start|respeito]] à realidade.»

O [[lexico:e:entendimento:start|entendimento]] [[lexico:p:perfeito:start|perfeito]] deste assunto só se tornou comum devido à [[lexico:t:tendencia:start|tendência]] matemática conhecida pelo [[lexico:n:nome:start|nome]] de axiomática. O [[lexico:p:progresso:start|progresso]] realizado pela axiomática consiste em que ela separa cuidadosamente a parte lógica e formal do conteúdo objetivo ou intuitivo. Segundo a axiomática, só a parte lógica e formal constitui o [[lexico:o:objeto:start|objeto]] da matemática, e de [[lexico:m:modo:start|modo]] algum o conteúdo intuitivo ou [[lexico:o:outro:start|outro]] que se lhe acrescente.

Deste [[lexico:p:ponto:start|ponto]] de vista, examinemos um axioma da geometria, por [[lexico:e:exemplo:start|exemplo]] o seguinte: por dois pontos do [[lexico:e:espaco:start|espaço]] podemos sempre traçar uma linha reta e só uma. Como é que este axioma deve ser interpretado ao modo antigo e ao modo [[lexico:m:moderno:start|moderno]]?

[[lexico:i:interpretacao:start|Interpretação]] antiga — Toda [[lexico:a:a-gente:start|a gente]] sabe [[lexico:o:o-que-e:start|o que é]] uma reta e o que é um ponto. Que tal [[lexico:c:conhecimento:start|conhecimento]] provenha da [[lexico:f:faculdade:start|faculdade]] do [[lexico:e:espirito:start|espírito]] humano ou da experiência, da cooperação de ambas ou do que quer que seja, o matemático não é obrigado a decidi-lo, abandonando essa [[lexico:d:decisao:start|decisão]] ao [[lexico:f:filosofo:start|filósofo]]. Assente nesse conhecimento, que é [[lexico:d:dado:start|dado]] antes de qualquer matemática, o axioma referido (como todos os outros) é evidente, isto é, é [[lexico:e:expressao:start|expressão]] de uma parte de tal conhecimento [[lexico:a:a-priori:start|a priori]].

Interpretação [[lexico:m:moderna:start|moderna]] — A geometria trata de objetos denominados reta, ponto, etc. Não é [[lexico:p:pressuposto:start|pressuposto]] qualquer conhecimento ou [[lexico:i:intuicao:start|intuição]] desses objetos; o [[lexico:u:unico:start|único]] que se pressupõe é a [[lexico:v:validade:start|validade]] desses axiomas, que devem também ser concebidos como puramente formais, isto é, desprovidos de qualquer conteúdo intuitivo ou acessível. Tais axiomas são criações livres do espírito humano. Todas as outras proposições geométricas são deduções lógicas dos axiomas (que devem ser concebidos do ponto de vista nominalista). São os axiomas que definem, em primeiro lugar, os objetos de que a geometria se ocupa. Eis o [[lexico:m:motivo:start|motivo]] por que Schlick considerou com razão os axiomas como definições implícitas.

Esta concepção dos axiomas, representada pela axiomática moderna, liberta a matemática de todos os [[lexico:e:elementos:start|elementos]] que lhe não respeitam e dissipa desse modo a obscuridade [[lexico:m:mistica:start|mística]] que outrora envolvia os fundamentos da matemática. Uma tal [[lexico:e:exposicao:start|exposição]] depurada torna igualmente evidente que a matemática como tal não é capaz de enunciar o que quer que seja nem a respeito dos objetos da [[lexico:r:representacao:start|representação]] intuitiva nem da realidade. Pelas [[lexico:p:palavras:start|palavras]] ponto, reta, etc., só devemos entender na geometria axiomática [[lexico:c:conceitos:start|conceitos]] esquemáticos sem conteúdo. Aquilo que lhes confere conteúdo não pertence à matemática.

[[lexico:a:albert:start|Albert]] [[lexico:e:einstein:start|Einstein]], La Géometrie et l’Expérience, trad. franc, de M. Solovine, pp. 3-5.

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