===== ARITMÉTICA =====
(in. Arithmetic; fr. Arithmétique; al. Arithmetik; it. Aritmética).

[[lexico:t:teoria:start|teoria]] [[lexico:m:matematica:start|matemática]] dos números naturais, isto é, dos números inteiros positivos. Entendem-se comumente por leis da aritmética as seguintes proposições ou regras:

1) a + b = b + a ([[lexico:l:lei:start|lei]] comutativa da adição);

2) ab = ba (lei comutativa da multiplicação);

3) a + (b + c) = (a + b) + c (lei associativa da adição);

4) a(bc) = (ab)c (lei associativa da multiplicação);

5) a(b + c) = ab + ac (lei distributiva).

A [[lexico:f:formalizacao:start|formalização]] da aritmética, isto é, a [[lexico:r:reducao:start|redução]] da aritmética a um [[lexico:s:sistema:start|sistema]] [[lexico:l:logico:start|lógico]] fundado em poucos axio-mas, foi efetuada pela primeira vez por Peano, que se valeu de alguns [[lexico:c:conceitos:start|conceitos]] de Dedekind. Peano pressupôs como primitivas as noções de [[lexico:z:zero:start|zero]], de conjunto de números naturais e de [[lexico:s:sucessao:start|sucessão]] enunciada com a [[lexico:e:expressao:start|expressão]] o sucessivo de. Mostrou que todas as proposições da aritmética podiam derivar dos cinco axiomas seguintes:

1) 0 é um [[lexico:n:numero:start|número]] [[lexico:n:natural:start|natural]];

2) se x é um número natural, o número sucessivo também é um número natural;

3) se x e y são números naturais e se o sucessivo de x é [[lexico:i:identico:start|idêntico]] ao sucessivo de y, então x e y são idênticos;

4) se x é um número natural, o número sucessivo de x é diferente de 0;

5) se 0 pertence a um conjunto a e se o sucessivo de um número natural qualquer pertence também a [[lexico:e:esse:start|esse]] conjunto, o conjunto dos números naturais é uma [[lexico:p:parte:start|parte]] de a.

Com a expressão aritmetização da matemática entende-se, às vezes, a exigência surgida em meados do séc. XIX, no [[lexico:c:campo:start|campo]] das matemáticas, principalmente por [[lexico:o:obra:start|obra]] de Weierstrass, de conferir [[lexico:u:unidade:start|unidade]] e rigor lógico à [[lexico:a:analise:start|análise]] matemática, fundando-a numa teoria dos números reais. Essa teoria foi depois desenvolvida por Cantor (1845-1918) e Dedekind (1831-1916).

Cf. as memórias de [[lexico:l:logica-matematica:start|lógica matemática]] de Peano, ora coligidas em Opere scelte, Roma, 1958. Cf. também B. [[lexico:r:russell:start|Russell]], Introduction to Mathematical Philosophy, 1918 (v. matemática; número).

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