===== ANTINOMIAS =====
VIDE [[lexico:a:antinomia:start|antinomia]]

(in. Antinomies; fr. Antinomies; al. Antinomien; it. Antinomié).

Com [[lexico:e:esse:start|esse]] [[lexico:t:termo:start|termo]] ou com o termo paradoxos são chamadas as contradições propiciadas pelo [[lexico:u:uso:start|uso]] da [[lexico:n:nocao:start|noção]] absoluta de todos em [[lexico:m:matematica:start|matemática]] e em [[lexico:l:logica:start|lógica]]. Nesse [[lexico:s:sentido:start|sentido]], as antinomias [[lexico:n:nao:start|não]] eram desconhecidas na [[lexico:a:antiguidade:start|antiguidade]], porque fizeram [[lexico:p:parte:start|parte]] dos raciocínios insolúveis ou conversíveis de que se compraziam megáricos e estoicos e que às vezes também foram chamados de dilemas (v. [[lexico:d:dilema:start|dilema]]). Tais raciocínios são tratados na [[lexico:e:escolastica:start|Escolástica]] tardia, nas coleções de Insolubilia ou de Obrigatória; o mais famoso é o do [[lexico:m:mentiroso:start|mentiroso]], que Cícero já recordava: "Se dizes que mentes, ou estás dizendo a [[lexico:v:verdade:start|verdade]] e então estás mentindo, ou estás dizendo [[lexico:m:mentira:start|mentira]] e então dizes a verdade" (Acad, IV, 29, 96). Esse [[lexico:p:paradoxo:start|paradoxo]] era discutido no séc. XIV por Ockham (Summa log., III, III, 38). Na lógica contemporânea, a primeira [[lexico:c:contradicao:start|contradição]] desse [[lexico:g:genero:start|gênero]] foi evidenciada por Burali Forti em 1897 e se referia à [[lexico:s:serie:start|série]] dos números ordinais: se a série de todos os números ordinais tem um [[lexico:n:numero:start|número]] ordinal, que seja, p. ex., w também w será um número ordinal, de tal [[lexico:m:modo:start|modo]] que a série de todos os números ordinais terá o número w + 1, maior do que w, e w não será o número ordinal de todos os ordinais ("Uma [[lexico:q:questao:start|questão]] sobre os números transfinitos", em Rend dei Circolo Matemático di Palermo, 1897). Mas o mais famoso paradoxo, o que chamou mais a [[lexico:a:atencao:start|atenção]], foi o de [[lexico:r:russell:start|Russell]], [[lexico:r:referente:start|referente]] à [[lexico:c:classe:start|classe]] de todas as classes que não são membros de si mesmas. Há classes que não são membros de si mesmas, como p. ex., a classe dos homens: esta, não sendo [[lexico:h:homem:start|homem]], não é membro de si mesma. Há, porém, classes que são membros de si mesmas, como a "classe dos [[lexico:c:conceitos:start|conceitos]]", que é também um [[lexico:c:conceito:start|conceito]]. Ora, a classe de todas as classes que não são membros de si mesmas é ou não é membro de si mesma? Se é, contém um membro que é membro de [[lexico:s:si-mesmo:start|si mesmo]] e, portanto, não é mais a classe de todas as classes que não contêm a si mesmas como membro. Se não, será uma das classes que não contêm a si mesmas como membro e deve, por isso, pertencer à classe de tais classes. Esse paradoxo publicado por Russel em 1902 deu depois [[lexico:l:lugar:start|lugar]] à reorganização feita por Whitehead e Russel na [[lexico:l:logica-matematica:start|lógica matemática]] ([[lexico:p:principia-mathematica:start|Principia Mathematica]], 1910-13). Outros paradoxos são os de Köning (1905), de Richard (1906), de Grelling (1908), de Jourdain (1913); mas, como notou Russell, pode haver um número [[lexico:i:indefinido:start|indefinido]] de paradoxos com a mesma [[lexico:c:caracteristica:start|característica]], a auto-referên-cia ou a reflexividade. Em cada um deles se diz [[lexico:a:alguma-coisa:start|alguma coisa]] de todos os casos de um [[lexico:d:dado:start|dado]] gênero e, do que se diz, nasce um novo caso que é e não é da mesma [[lexico:e:especie:start|espécie]] daqueles aos quais o todos se refere. Portanto, a solução óbvia das antinomias é a que apresenta regras capazes de impedir a [[lexico:r:referencia:start|referência]] auto-reflexiva de onde nascem as antinomias Tal é o [[lexico:p:principio:start|princípio]] adotado por Russell: "Tudo o que implica o [[lexico:t:todo:start|todo]] de uma coleção não deve [[lexico:s:ser:start|ser]] termo da coleção", ou inversamente: "Se, admitindo que certa coleção tem um total, ela teria membros definíveis somente em termo daquele total, então a dita coleção não tem total" (Mathematical Logic as Based on the Theory of Types, 1908, em Logic and Knowledge, p. 63). A mesma exigência era apresentada por Poincaré, na [[lexico:f:forma:start|forma]] da exclusão das definições impredicativas, isto é, das definições que implicam um [[lexico:c:circulo-vicioso:start|círculo vicioso]].

Todavia, essa [[lexico:s:simples:start|simples]] exigência negativa, sobre a qual todos os lógicos estão de [[lexico:a:acordo:start|acordo]], não é suficiente porque não fornece um [[lexico:c:criterio:start|critério]] [[lexico:e:exato:start|exato]] para distinguir o uso legítimo do ilegítimo da [[lexico:p:palavra:start|palavra]] todos. E, sobre qual possa ser esse critério, os lógicos não estão de acordo. Contudo, é [[lexico:p:possivel:start|possível]] distinguir dois tipos de soluções que podem ser atribuídas, respectivamente, a Russell e a Frege.

1) A primeira solução consiste em distinguir vários graus ou tipos de conceitos e em limitar a predicabilidade de um [[lexico:t:tipo:start|tipo]] em [[lexico:r:relacao:start|relação]] ao [[lexico:o:outro:start|outro]]. A [[lexico:t:teoria:start|teoria]] dos tipos de Russell responde a essa exigência. Segundo essa teoria, devem-se distinguir: conceitos de tipo [[lexico:z:zero:start|zero]], que são os conceitos individuais, isto é, os nomes próprios; conceitos de tipo um, que são propriedades de indivíduos (p. ex., branco, vermelho, grande, etc); conceitos de tipo dois, que são propriedades de propriedades, e assim por diante. Isso posto, a [[lexico:r:regra:start|regra]] para evitar a antinomias é a seguinte: um conceito nunca pode servir de [[lexico:p:predicado:start|predicado]] numa [[lexico:p:proposicao:start|proposição]] cujo [[lexico:s:sujeito:start|sujeito]] seja de tipo igual ou maior do que o [[lexico:p:proprio:start|próprio]] conceito. Essa teoria foi exposta por Russell no apêndice de Principles of Mathematics, de 1903.

Em seguida, nessa teoria dos tipos, o próprio Russell inseriu uma teoria dos graus, dando lugar à chamada teoria ramificada dos tipos, que ele expôs em 1908 (no artigo já citado) e que está na base dos Principia mathematica. Segundo essa teoria, são de [[lexico:g:grau:start|grau]] zero ou elementares as funções proposicionais ou [[lexico:p:predicados:start|predicados]] que não contêm nenhuma variável [[lexico:a:aparente:start|aparente]] (entendendo-se por variável aparente a que se repete numa [[lexico:f:funcao:start|função]] [[lexico:i:independente:start|independente]] dela, não no sentido de [[lexico:t:ter:start|ter]] o mesmo [[lexico:v:valor:start|valor]] para cada valor da variável, mas no sentido de que os valores particulares desta não mudam a [[lexico:n:natureza:start|natureza]] da função). São de grau um as funções proposicionais apresentadas de uma variável aparente cuja classe de variação é um conjunto de objetos individuais. São de grau dois as apresentadas de uma variável aparente que está no lugar de uma função proposicional de grau um; e assim por diante. Isto posto, estabelece-se a regra segundo a qual não podem ser tratadas no mesmo [[lexico:p:plano:start|plano]] proposições que podem ser extraídas de funções de grau diferente. P. ex., a antinomias do mentiroso depende do [[lexico:f:fato:start|fato]] de a [[lexico:f:frase:start|frase]] "[[lexico:e:eu:start|eu]] minto" ser interpretada no sentido de "Qualquer que seja a minha presente [[lexico:a:afirmacao:start|afirmação]] x, x é uma mentira", e de se identificar essa frase, que chamamos y, com a afirmação x. Mas na [[lexico:r:realidade:start|realidade]] y é de grau diferente de x porque x é a variável aparente contida em y, por isso, não pode ser identificada com y. Em outras [[lexico:p:palavras:start|palavras]], quando se diz "eu minto", não se entende que a própria frase "eu minto" seja uma mentira, mas que é mentira alguma outra frase a que ela se refere. Russell, porém, para tornar possível, em matemática, o tipo de [[lexico:a:assercao:start|asserção]] impropriamente expressa com a frase (que dá lugar às antinomias) "todas as propriedades de x", introduzia o [[lexico:a:axioma:start|axioma]] das classes ou [[lexico:a:axioma-de-redutibilidade:start|axioma de redutibilidade]]. Dizia: "Seja fx uma função de qualquer [[lexico:o:ordem:start|ordem]] de um [[lexico:a:argumento:start|argumento]] x, que pode ser um [[lexico:i:individuo:start|indivíduo]] ou uma função de qualquer ordem. Se f é da ordem imediatamente [[lexico:s:superior:start|superior]] a x, escrevemos a função na forma f ! x; nesse caso, chamaremos f de função predicativa. Assim, a função predicativa de um indivíduo é uma função de primeira ordem. Para argumentos de tipo mais alto, as funções predicativas tomam o lugar que as funções de primeira ordem têm em relação aos indivíduos. Concluímos então que toda função é equivalente, para todos os seus valores, a alguma função predicativa do mesmo argumento" (Mathematical Logic, 81-82). Russell acreditava ter salvo desse modo o conceito de classe da antinomias e, ao mesmo [[lexico:t:tempo:start|tempo]], tê-lo tornado ainda utilizável em sua função fundamental, que seria a de reduzir a ordem das funções proposicionais. Mas esse axioma suscitou muitas críticas, que mostraram especialmente que seu [[lexico:e:efeito:start|efeito]] era restaurar a [[lexico:p:possibilidade:start|possibilidade]] das definições impredicativas que a teoria dos graus tendia a eliminar (cf. sobre tais críticas antinomias Church, Introduction to Mathematical Logic, § 59, n. 588). O mesmo Russell, na introdução à 2a edição de Principia mathematica (1925), recomendava o [[lexico:a:abandono:start|abandono]] do axioma da redutibilidade.

Ramsey propôs então dividir as antinomias em duas [[lexico:c:categorias:start|categorias]]: as antinomias lógicas (em sentido [[lexico:e:estrito:start|estrito]]), que são as exemplificadas pela antinomias de Russell e que não fazem referência à verdade ou à [[lexico:f:falsidade:start|falsidade]] das expressões; e as antinomias sintáticas, exemplificadas pela antinomias do mentiroso, que nascem da referência [[lexico:s:semantica:start|semântica]] e podem, portanto, ser chamadas de semânticas ou epistemológicas (Foundations of Mathematics, 1931). Ramsey observou que as antinomias da segunda espécie não comparecem nos sistemas logísticos, mas só nos textos que os acompanham e que, portanto, podem ser desprezadas pela lógica, na [[lexico:m:medida:start|medida]] em que esta tem como [[lexico:o:objeto:start|objeto]] a construção de sistemas simbólicos. Quanto às antinomias lógicas, porém, Ramsey observou que basta a teoria simples dos tipos, cuja regra fundamental Carnap, seguindo a [[lexico:s:sugestao:start|sugestão]] de Ramsey, assim formulou: "Um predicado pertence sempre a um tipo diferente do de seus argumentos (isto é, pertence a um tipo de nível mais alto); por isso, um [[lexico:e:enunciado:start|enunciado]] nunca pode ter a forma ‘F(F)’" (The Logical Syntax of Language, § 60 a). Essa regra basta para evitar as definições impredicativas: de modo que a teoria dos tipos simples é hoje a mais comumente aceita pelos lógicos, no que concerne às antinomias lógicas.

2) A segunda solução fundamental das antinomias diz [[lexico:r:respeito:start|respeito]] às antinomias sintáticas, isto é, semântico-epistemológicas, que são aquelas nas quais comparecem reiteradamente os conceitos de [[lexico:v:verdadeiro:start|verdadeiro]] e [[lexico:f:falso:start|falso]]. Essa solução consiste em considerar essas antinomias como proposições indecidíveis, isto é, como proposições sobre cuja verdade ou falsidade a [[lexico:e:estrutura:start|estrutura]] da [[lexico:l:lingua:start|língua]] em que são formuladas não permite decidir nem num sentido nem noutro. Mediante a ampliação da língua considerada, tais proposições podem tornar-se suscetíveis de [[lexico:d:decisao:start|decisão]], mas essa ampliação pode dar ensejo a outras proposições indecisas.

Uma solução desse gênero já fora apresentada por Ockham, quando, na [[lexico:a:analise:start|análise]] do paradoxo do mentiroso, reconhecera o [[lexico:c:carater:start|caráter]] indecidível dos enunciados auto-reflexivos. Assim, dizia Ockham, não é legítimo dizer que A signifique "A significa o falso". Certamente é possível que A signifique o falso, mas justamente porque é possível, e só por isso, A não significa nem o verdadeiro nem o falso (Summa log., III, III, 38).

Esse [[lexico:p:ponto:start|ponto]] de vista foi consolidado pelo [[lexico:c:chamado:start|chamado]] [[lexico:t:teorema-de-godel:start|teorema de Gödel]], segundo o qual é [[lexico:i:impossivel:start|impossível]] provar a não-contradição de um [[lexico:s:sistema-logistico:start|sistema logístico]] com os meios de [[lexico:e:expressao:start|expressão]] contidos no mesmo [[lexico:s:sistema:start|sistema]] ("Über [[lexico:f:formal:start|formal]] Unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme", in Monatsch. Math. Phys, 1931). Isto posto, pode-se entender como nascem antinomias sintáticas quando os predicados verdadeiro e falso, referentes a uma [[lexico:l:linguagem:start|linguagem]] determinada S, são usados dentro dessa mesma linguagem. Por outro lado, a contradição pode ser evitada usando-se os predicados "verdadeiro (em S1)" e "falso (em S1)", numa [[lexico:s:sintaxe:start|sintaxe]] de S1 não formulada na própria S1, mas em outra linguagem S2 (Carnap, Logical Syntax of Language, § 60 b). Vale dizer que a afirmação "eu minto" pode ser verdadeira em nível de certa linguagem e falsa em nível de outra linguagem; isto é, ela permanece indecisa enquanto não se determinar o nível da linguagem a que se refere. Soluções substancialmente semelhantes a estas foram propostas por Quine (Mathematical Logic, 1940, cap VII; cf. From a Logical Point of View, VII, 3) e por Church (Introduction to Mathematical Logic, § 57).

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