===== ÁLGEBRA =====
Costuma-se dizer que enquanto o [[lexico:r:raciocinio|raciocínio]] matemático aplicado à [[lexico:g:geometria|geometria]] é [[lexico:a:analogico|analógico]] o raciocínio algébrico é [[lexico:d:digital|digital]] . A geometria clássica [[lexico:n:nao|não]] é uma [[lexico:l:linguagem|linguagem]]; a [[lexico:f:figura|figura]] geométrica, nossa orientadora na [[lexico:d:demonstracao|demonstração]] dos teoremas da geometria, não obedece em sua construção a regras muito rígidas, podendo uma figura [[lexico:m:mal|mal]] desenhada servir tanto quanto uma [[lexico:b:bem|Bem]] desenhada na resolução de um [[lexico:p:problema|problema]] geométrico. Mas a álgebra tem muitas semelhanças à linguagem ; especialmente, a um [[lexico:t:tipo|tipo]] de linguagem, a linguagem [[lexico:e:escrita|escrita]] alfabética. Como esta, a álgebra também se utiliza de um [[lexico:a:alfabeto|alfabeto]] básico; e como esta, a álgebra também tem as suas regras ortográficas (notemos, no entanto, que nas linguagens naturais escritas a ortografia rigorosamente certa não é [[lexico:c:condicao|condição]] de intelegibilidade do [[lexico:t:texto|texto]], permitindo-se certos erros — "ce não xover" é, evidentemente, "se não chover" — ao passo que na álgebra o rigor ortográfico é [[lexico:e:essencial|essencial]]) . A álgebra, se assemelhando à linguagem escrita em sua [[lexico:e:estrutura|estrutura]] superficial, torna-la-á sua "[[lexico:m:metalinguagem|metalinguagem]]", e, ao mesmo [[lexico:t:tempo|tempo]], serão feitos esforços para [[lexico:c:compreender|compreender]] a estrutura da linguagem escrita em termos da álgebra (o [[lexico:s:sistema|sistema]] do Tractatus de [[lexico:w:wittgenstein|Wittgenstein]] , e as gramáticas formalizadas de [[lexico:c:chomsky|Chomsky]] pertencem a estes esforços). A álgebra, dentro das ciências ocidentais, é um [[lexico:a:acontecimento|acontecimento]] recente. Embora o tratamento algébrico de problemas matemáticos já nos viesse desde os gregos, e embora os hindus e árabes bastante tenham contribuído para o assunto, só em [[lexico:d:descartes|Descartes]] vamos encontrar o [[lexico:u:uso|uso]] [[lexico:s:sistematico|sistemático]] da álgebra — no seu [[lexico:d:desenvolvimento|desenvolvimento]] da geometria [[lexico:a:analitica|analítica]]. Um livro tão importante quanto a [[lexico:o:obra|obra]] de Newton, Principia Mathemalica Philosophiae Naturalis (de 1687), onde são expostas e demonstradas as leis que regem o [[lexico:m:movimento|movimento]] dos planetas, e onde são enunciadas as 3 leis dinâmicas que ainda mantêm o [[lexico:n:nome|nome]] de Newton ligadas a si, é praticamente [[lexico:t:todo|todo]] desenvolvido com a ajuda do raciocínio geométrico. Assim sendo, as "definições" e "conceituações" que utilizamos para [[lexico:e:explicar|explicar]] o que seja uma álgebra são bastante recentes. A mais difundida surgiu dentro das investigações em torno da [[lexico:l:logica-matematica|lógica matemática]] e dos fundamentos da [[lexico:m:matematica|matemática]] desenvolvidos a partir do início do século. É a seguinte:

Um sistema algébrico se estrutura segundo três níveis. O primeiro nível é o de seu "alfabeto", das letras e sinais que usamos na álgebra. Estes sinais são de dois tipos — de um lado, os sinais que representam as "[[lexico:p:palavras|palavras]]" da álgebra, e de [[lexico:o:outro|outro]] lado, os "sinais de pontuação", [[lexico:c:conectivos-logicos|conectivos lógicos]] e [[lexico:p:parenteses|parênteses]], que nos ajudam a relacionar umas às outras as "palavras" de nossa álgebra. O segundo nível é o das "regras de ortografia", que nos ensinam como formar outras "palavras" a partir do alfabeto básico. O [[lexico:t:terceiro|terceiro]] nível será o das regras de [[lexico:i:inferencia|inferência]]. Estas últimas permitem que, de certo [[lexico:n:numero|número]] de "palavras" deduzamos outras "palavras" novas (na [[lexico:v:verdade|verdade]] as regras de inferência são, também, regras de ortografia. Mas enquanto estas só nos ensinam a formar palavras novas por aglutinação de palavras antigas, as regras de inferência nos mostram como podemos modificar a estrutura interna de uma [[lexico:p:palavra|palavra]] para obter uma palavra nova).

Com esta [[lexico:d:definicao|definição]] caracterizamos um grande número de álgebras existentes na matemática. Existe a álgebra usual, que é uma álgebra dos números reais e complexos; existem as álgebras lineares e multilineares, que tratam de vetores, matrizes, tensores, várias séries infinitas — todas essas entidades [[lexico:c:como-se|como se]] elas fossem "números" capazes de certas operações algébricas mais ou menos [[lexico:s:simples|simples]] (e um pouco diferentes das da álgebra dos reais). Existe a álgebra dos conjuntos, formalizada pela álgebra de Boole, e assim em diante. (Francisco Doria - [[lexico:d:dcc|DCC]])