(in. Arithmetic; fr. Arithmétique; al. Arithmetik; it. Aritmética).
Teoria matemática dos números naturais, isto é, dos números inteiros positivos. Entendem-se comumente por leis da aritmética as seguintes proposições ou regras:
1) a + b = b + a (lei comutativa da adição);
2) ab = ba (lei comutativa da multiplicação);
3) a + (b + c) = (a + b) + c (lei associativa da adição);
4) a(bc) = (ab)c (lei associativa da multiplicação);
5) a(b + c) = ab + ac (lei distributiva).
A formalização da aritmética, isto é, a redução da aritmética a um sistema lógico fundado em poucos axio-mas, foi efetuada pela primeira vez por Peano, que se valeu de alguns conceitos de Dedekind. Peano pressupôs como primitivas as noções de zero, de conjunto de números naturais e de sucessão enunciada com a expressão o sucessivo de. Mostrou que todas as proposições da aritmética podiam derivar dos cinco axiomas seguintes:
2) se x é um número natural, o número sucessivo também é um número natural;
3) se x e y são números naturais e se o sucessivo de x é idêntico ao sucessivo de y, então x e y são idênticos;
4) se x é um número natural, o número sucessivo de x é diferente de 0;
5) se 0 pertence a um conjunto a e se o sucessivo de um número natural qualquer pertence também a esse conjunto, o conjunto dos números naturais é uma parte de a.
Com a expressão aritmetização da matemática entende-se, às vezes, a exigência surgida em meados do séc. XIX, no campo das matemáticas, principalmente por obra de Weierstrass, de conferir unidade e rigor lógico à análise matemática, fundando-a numa teoria dos números reais. Essa teoria foi depois desenvolvida por Cantor (1845-1918) e Dedekind (1831-1916).
Cf. as memórias de lógica matemática de Peano, ora coligidas em Opere scelte, Roma, 1958. Cf. também B. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, 1918 (v. matemática; número). [Abbagnano]